1 引言

　　計算機輔助造型技術已在產品設計、工程分析、快速成型等技術領域獲得了廣泛應用。在應用CAD/CAM技術設計、制造齒輪產品時，齒輪的三維實體造型是一個瞬需解決的技術難題，如齒輪造型精度不高，將直接影響有限元分析、虛擬樣機設計的仿真結果，并影響到齒輪產品的CAM制造精度。目前，對工程中最常用的漸開線圓柱直齒輪的三維造型理論與方法已進行了大量研究，并取得了較為成熟的研究成果(如基于UG軟件的3種生成方法、基于CAXA軟件的生成方法等)。對于結構更為復雜的斜齒輪，山于其齒面為螺旋漸開線齒廓曲面，因此三維造型難度更大，目前主要采用二次開發法和加工模擬法來實現其造型(如基于AutoCAD軟件的造型方法、基于Solid Edge軟件的造型方法等)。其中，二次開發法對設計人員技術水平要求較高，造型過程煩瑣，適用范圍也受到一定限制;加工模擬法需要模擬刀具和輪坯兩個模型的范成運動并進行全程布爾運算，生成的文件較大，設計周期較長。

　　在采用CAD/CAM/CAE集成化軟件UG進行斜齒輪設計的過程中，我們將UG的三維參數化造型、表達式處理、自由曲面掃描等功能有機結合起來，提出一種通用的斜齒輪三維設計方法—掃描成型法。該方法首先求得斜齒輪的端面輪廓線，然后通過投影關系獲得其法而輪廓線;將法面輪廓線沿螺旋線掃描獲得剎一齒輪廓面，然后利用該面對造型實體進行裁剪操作以生成單個輪齒，并通過布爾運算最終獲得斜齒輪的完整輪齒。實際應用表明，掃描成型法的設計精度和設計效率較高，操作簡便。本文介紹應用該方法進行剎齒輪設計造型的主要步驟，包括端面輪齒輪廓線的精確繪制、端面與法面輪廓線的關系、螺旋線的生成、單個輪齒與完整輪齒的生成等。

　　2 輪廓線與螺旋線的生成

　　2.1 端面輪廓線的生成

　　齒輪上的所有輪齒都具有相同的結構特征。應用掃描成型法進行斜齒輪造型設計時，首先需求取斜齒輪的端面齒形，然后據此生成法面齒形。以標準漸開線圓柱斜齒輪為例，由于其端面輪廓線為漸開線，因此設計時可直接利用直齒圓柱齒輪的表達式。例如，被設計斜齒輪的齒頂圓直徑da=76.40mm，齒數z=23，齒寬b=22mm，法向模數mn=3mm，齒頂圓螺旋角β=12.43333°，旋轉方向為左旋。設計時，選擇UG軟件的表達式(Expression)工具，輸入漸開線表達式：

　　pi=pi()

　　afan=20

　　z=23

　　da=76.4

　　mn=3

　　bata=12.433333

　　b=22

　　…

　　t=0

　　qi=(tan(afat)一afat*c)/C

　　q′=90/z

　　q=q′+qi

　　s=(1一t)*e+t*f

　　u=s*c

　　x=rb*sin(s)-rb*u*cos(s)

　　y=rb*cos(s)+rb*u*sin(s)

　　xt=x*cos(q)-y*sin(q)

　　yt=x*sin(q)+y*cos(q)

　　arc=b*tan(bata)

　　a=deg(arc*2/d)

　　x0=d/2*sin(a*t)

　　y0=d/2 *cos(a*t)

　　以上表達式的后半段采用了知陣變換方式來解決漸開線輪廓對稱問題，使漸開線精度較采用手工取舍旋轉角度的方法顯著提高，有利于齒輪廓線的精確繪制。由于采用了UG內部的表達式工具，避免了編程處理，因此提高了設計效率。

　　選取UG中規則曲線(Law Curve)的By Equa-tiou方式，以坐標原點為基準點插入規則曲線，UG將自動計算(x0，yo)值(z軸坐標為O)并繪制漸開線。以y軸為對稱中心，對漸開線進行鏡象操作，可得到兩條齒側輪廓線。方程中的所有參數可隨時進行修改，參數變化后生成的曲線將相應發生變化。

　　以工作坐標原點為基準，利用齒頂圓、齒根圓對其進行修剪并處理齒頂、齒根處的過渡圓角，得到如圖1所示的端面齒形輪廓線。

　　圖1 端面齒形輪廓線

　　2.2 螺旋線的生成

　　由于斜齒輪的輪廓線需通過其法面輪廓線沿螺旋線掃描生成，因此首先必須生成螺旋線。本方法采用分度圓上的螺旋線作為引導線。在UG的自由曲而掃描方式中，為保證生成的曲面不變形，需要生成三條螺旋引導線。分度圓上螺旋線表達式的生成方法如下：

　　在斜齒輪分度圓柱面的展開圖中(見圖2a)。S為導程，β為分度圓上的螺旋角。根據三角形邊角關系，可得出arc弧長為arc=btanβ

　　分度圓半徑r= d/2，可得arc弧長在分度圓上對應的中心角弧度值為:φ=arc/r=2arc/d

　　圖2 斜齒輪分度圓柱面的展開圖

　　UG軟件中的三角函數值是以度為單位，因此需用deg()內部函數將弧度轉換為度，即a=deg(φ)=deg(2arc/d)

　　通過表達式繪制圓弧時，必須以圓弧所對應的中心角為變量參數。系統提供的內部變量參數t的變化范圍為0～1，因此需進行參數代換(at)，使t在0～2arc/d的角度范圍內變化。代入圓的參數方程

　　按此方法繪制的圓弧是從x軸開始，為使圓弧從y軸開始，需對表達式稍作變動，將x和y對換。在表達式對話框中輸入以下表達式：

　　arc=b*tan(bata)

　　a=deg(arc*2/d)

　　xO=d/2*sin(a*t)

　　y0=d/2*cos(a*t)

　　式中，arc為分度圓圓柱而螺旋線在端面投影的弧長，a為與arc圓弧對應的中心角度。

　　按規則曲線方式插入(x0，y0，Z)生成的螺旋曲線，z軸分量以線性(Linear)方式輸入起始值0、終止值50以替代齒寬b(b<50)，在對話框中選擇“OK”后，圖形窗口中即生成一條螺旋線。對該螺旋線進行圍繞圓心旋轉變換的復制操作，即可在分度圓上生成任意位置的兩條螺旋線，即得到如圖3所示的三條螺旋引導線。

　　圖3 生成的三條螺旋引導線

　　2.3 法面輪廓線的生成

　　將工作坐標的z軸向x軸旋轉螺旋角β，在x-y坐標面上建立一個參考平而，然后將端面輪廓線投影到該參考平面上，即可得到如圖4所示的法面齒形輪廓線。

　　圖4 法面齒形輪廓線

　　3 輪齒實體的三維造型

　　將法面輪廓線沿螺旋引導線進行掃描，即可生成斜齒輪的輪廓曲面。以該輪廓曲面為邊界對實體進行裁剪操作，獲得的剩余實體即為被設計的輪齒實體。

　　3.1 法面輪廓線的掃描

　　旋轉坐標到原始位置。選用UG中的自由曲面掃描(SWPt)方式，在對象窗口內依次選擇三條引導線，然后選取法面齒形輪廓線，在對齊方式中選擇弧長對齊(Arc Length即可得到圖5所示的掃描曲面。

　　圖5 掃描曲面

　　3.2 單個輪齒的生成

　　將坐標沿z軸移動10，繪制一個方塊實體(見圖6)，其z軸方向長度等于齒寬b。用生成的齒面對其進行剪切，即可得到斜齒輪的單個輪齒實體(見圖7)。由于法面與端面相交(見圖4)，因此如從原始坐標原點開始繪制方塊實體，則掃描得到的單齒而未穿過該方塊的兩個對面，就無法完成剪切操作。

　　3.3 整體輪齒的生成

　　以齒寬b為高度坐標繪制出齒根圓柱(見圖8)。然后對輪齒和圓柱體進行布爾加運算，對輪齒特征進行數目z的陣列運算，旋轉角度為360/z，最終生成如圖9所示的斜齒輪整體輪齒實體(其中的齒輪孔是經后處理實現的，過程略)。

　　4 結語

　　本文提出采用掃描成型法進行斜齒輪的計算機輔助設計，利用UG軟件的表達式(Expression )工具并結合解析算法，可較好保證計算精度并減小編程工作量;利用矩陣變換方式可提高對稱輪廓的設計精度;利用單齒陣列操作可減小計算量，生成較小的零件文件;建立的方程重復利用率高，只需改變其中部分參數即可生成新的曲線，提高了設計效率。該方法不僅可應用于產品的有限元分析和虛擬裝配，而且還可用于計算機輔助教學。此外，應用該方法可顯著提高計算機輔助加工精度。