長期的生產實踐和理論分析都表明：對齒輪沿齒廓和齒向作適當的修形，可以消除嚙合沖擊和齒向載荷集中，齒間載荷分配更加合理，齒向載荷分布更加均勻，嚙合噪音降低，傳動更加平穩[1-3]。近年來，齒輪修形技術已廣泛應用于各種重要齒輪傳動。目前的齒輪修形一般通過刀具修形或磨削成形來獲得最后修形表面。這樣的方法效率低、成本高、加工柔性差，而且質量、精度難以控制。對于多聯齒輪和內齒輪，則無法實現修形加工。隨著數控加工技術的發展，采用數控機床加工齒輪及齒面修形的技術日益獲得重視。數控加工齒輪修形克服了傳統加工方法的缺點，能夠保證高精度的要求。本文研究齒輪修形的數控加工規律，提出采用標準插齒刀在三軸數控插齒機上實現齒輪的齒廓修形加工方法。

　　1 數字化共扼曲面求解及數控插齒修形加工分析

　　非數控的普通插齒機，其刀具與齒坯的展成運動是定速比運動，由漸開線齒形的刀具展成出漸開線的齒廓。如果要采用漸開線齒形刀具加工出偏離漸開線的修形齒廓，則必須根據修形齒形在任意時刻改變瞬時相對運動速比。因此，本加工方法必須在數控插齒機上才能完成，而特定時刻的瞬時相對運動速比是由刀具和被加工齒廓的共扼關系所確定的。要獲得數控編程所需要的運動參數，首先需要進行共扼關系的分析計算。在早期的修形齒廓中，大多數都是解析表達的，而基于有限元邊界元等方法的齒廓修形計算，所給出的結果通常是離散的。解析表達的可以離散為數值表達，因此，解決數字化齒面共輾求解，就解決了所有的修形齒面共扼求解問題，歸結起來，就是首先要解決數字化共扼曲面求解問題。

　　數字化共扼曲面原理研究由離散點集描述的數字化曲面與數字化曲面之間，或數字化曲面與共扼解析曲面之間的聯系與運動及其相互轉化規律。數字化共扼曲面原理脫胎于傳統的解析理論，應用現代數值方法，離散數學以及計算機對數據離散處理的能力，將宏觀的連續曲面共扼問題轉化為微觀的離散共扼問題[4]。

　　如圖1所示，一對共扼曲面要滿足兩個條件：

　　圖1 兩曲面的共軛運動

　　對于齒輪的數控插齒修形，由于只考慮齒廓修形，因此可簡化為二維數字化修形齒面與刀具齒面之間的共扼運動[5]。如圖2所示，o-xy為固定坐標系，o1-x1y1為與插齒刀相固聯的動坐標系，o2-x2y2是與二維數字化齒面相固聯的動坐標系，op-xpyp為輔助坐標系，圖3表示插齒刀的齒形。在坐標系o1-x1y1中，插齒刀上的任意一點坐標P(x1，y1)，該點處斜率為k1，在坐標系o2-x2y2中修形齒面上的一點P’(x2，y2)，該點處斜率為k2。當插齒刀轉動φ1，被加工齒輪轉動時φ2時，P和P’處于共扼接觸。

　　圖2 數控插齒加工坐標系

　　圖3 插齒刀齒形

　　在固定坐標系下P和P’滿足下列共扼條件：

　　在上述方程組中，已知數字化修形齒面上一點的坐標x2，y2和斜率k2，而插齒刀上任意一點的坐標x1，y1及斜率k1可由插齒刀在此點的壓力角來表示，即x1=x1(α1)，y1=y1(α1)， k1=k1(α1)，且中心距α也為可求。故此方程組為三元非線性方程組，未知參量為φ1，φ2，α1這3個。通過數值解法即可解此方程組。φ1為插齒刀的旋轉運動，φ2為齒坯的旋轉運動。這樣，由代表數字化齒面的數字化點的一組參數x2，y2，k2可唯一確定一組α1，φ1，φ2，從而唯一確定了插齒刀具形成面上與數字化齒面點(x2，y2)共扼的一點(x1，y1)以及這一對共扼點達到接觸位置所需的兩個離散共扼運動φ1，φ2。

　　已知插齒刀齒形和修形齒面的數字化點坐標及其斜率，都可以求解求插齒刀和修形齒面的相互運動，而且求解精度也達到要求。如果僅知道修形齒面的坐標點，則可以通過樣條插值或Hermite插值求出各點的斜率。

　　齒廓修形包括齒頂修形和齒根修形。一般情況下，為了保證齒根彎曲強度，只對齒頂進行修形，特殊情況下才會對齒頂和齒根均進行修形。齒廓修形有3個重要參數：修形量，修形長度和修形曲線。當這3個參數確定以后修形曲線就可以確定了，然后對其進行離散，就可以得到二維數字化修形齒面。

　　插齒刀是一組各段剖面為不同變位系數的變位齒輪的疊加，但插齒加工中起作用的是前端面。由于插齒刀在使用中前端面不斷磨損，因此在修形加工前要測出插齒刀前端面的實際變位系數。可以實測出插齒刀前端面的公法線長度Wk，再由下式計算[6]。

　　2 運動求解及數控編程

　　當插齒刀和修形齒面確定以后，就可以對其進行運動求解。一般情況下，所求得的插齒刀和齒輪運動的傳動比是時刻變化的。在三軸數控插齒機上，即插齒刀和工件的圓周運動的傳動比可以時刻變化，這就使在數控插齒機上加工修形齒面成為可能。

　　實際加工是以時間參數t為變量的連續加工，必須將離散展成共扼運動插值成連續共扼運動。對于每一個φ2，對應一個φ1和其一階導數P，若給定n個插值節點φ2=φ21，φ22，…，φ2n，則對應有φ1=φ11，φ12，…，φ1m和P=P1，P2，…，Pn。則連續運動φ1=(φ2)可用分段Hermite插值求得。其插值密度由數控加工系統相應軸的分辯率決定。

　　在φ2∈[φ2，k，φ2，k+1]區間上，φ1(φ2)的表達式為

　　令k=1，…，n-1，則在φ2∈[φ2，1，φ2，n]，可求得φ1(φ2)∈[φ1，1，φ1，n]，即φ1(φ2)是給定區間的連續函數。

　　令

　　φ2=w2t(w2=const) (5)

　　有

　　φ1=φ1(φ2)=φ1(w2t)=φ1(t) (6)

　　φ2(t)，φ1(t)即為實際展成齒面二個運動軸的真實運動。

　　得到兩個軸的運動數據后就可以按其運動編寫數控代碼。在加工中可以按從修形起點到齒頂點的順序進行修形，也可以按相反順序進行修形。與加工漸開線齒輪不同的是，由于在修形加工中改變了定比傳動關系，插齒刀轉動相對變慢，因此只能逐側齒廓進行修形，即修完一側齒廓后再加工另一側齒廓。

　　3 加工干涉分析

　　用標準漸開線插齒刀實現齒廓修形，在工件齒頂漸開線成形段，因重合度大于1的影響，插齒刀與工件一般處于雙齒成形嚙合切削區，這樣如果仍按照常規的嚙合展成齒形的傳動規律來展成修切齒廓1的齒頂時，勢必干涉破壞另一齒廓2的根部形狀，干涉仿真如圖4和圖5所示。

　　圖4 修形加工干涉

　　圖5 干涉放大圖

　　為解決這一問題，可采取的措施：

　　(1)對齒頂和齒根同時修形，且要求在雙嚙合區齒頂的齒根的修形相匹配，即雙嚙合區中一齒廓的齒頂與另一齒廓齒根的成形切削同時完成。

　　(2)如果只對齒頂進行修形，則可以采用中心分離的辦法。即增大插齒刀與被加工齒輪的中心距，使修形加工中重合度始終小于1，則插齒刀一直處于單齒嚙合狀態，因此修形過程中不會產生對相鄰齒的加工干涉。中心分離的距離可以按重合度小于1計算，最直接的辦法是以插齒刀的齒頂點來加工修形部分的起點，通過這兩個點的共扼關系就可以確定中心分離以后的中心距。此時，加工中首先要先加工出標準的漸開線齒輪，對齒輪的修形要作為一個獨立的工序放在加工的最后一步完成。

　　4 加工實驗研究

　　4.1 加工實驗

　　實驗已知條件：插齒刀齒數z1=18，被加工齒輪齒數z2=18，模數mn=6，壓力角α=20°，插齒刀前端面公法線測量值，=46.05，插齒刀的齒頂高系數h=1，3，齒輪修形曲線為圓弧，齒輪修形量dmax=45um，齒輪修形長度hmax=6mm(為使修形更明顯，實驗時取較大的修形參數)。在被加工的齒輪修形部分取巧個型值點，并按數字化共扼曲面原理進行運動求解，如表1所示，并將所得運動進行插值，如表2所示。

　　表1 插值實驗數據

　　表2 插值后兩個數控軸的運動數據

　　為了保證加工精度，運動插值要有比較小的步長;而從表2中可以看出加工修形的運動數據與加工漸開線齒輪的定比傳動運動數據相差很小，并且修形量越小，差異越小。由于數控機床的最小增量單位為0.001°或0.0001°，如果步長較小，當差異小于0. 0001度時，就會和加工漸開線齒輪的運動一樣，不能正確的加工修形齒輪。因此在插值時必須選取合適的步長，并且數控機床的最小增量單位最好選為0.0001°。

　　4.2 修形齒廓的檢驗

　　實驗加工的修形齒輪如圖6所示。為了檢驗修形效果，需對該齒輪進行測量。本實驗中插齒機的加工精度為7級，查資料得該齒輪的允許齒廓偏差Fm=19μm[7]。參照漸開線齒形的測量方法，對修形齒廓的檢驗方法有兩種：

　　(1)在漸開線齒形測量儀上測量。由于一般齒形測量儀是用來測量漸開線齒輪的，因而測量修形齒輪要考慮修形部分的影響。本實驗在SP-60漸開線測量儀上測量3個齒面，測量結果如圖7所示，從圖中可以看出修形齒輪的齒廓曲線的走勢與修形曲線基本符合。3個齒面的齒面偏差分別為-60.1 μm，-57.8μm和-50.5μm，除去修形量45μm的影響，因此所加工的修形齒輪的齒廓精度滿足要求。

　　圖6 數控插齒加工的修形齒輪

　　圖7 在漸開線測量儀上測量修形

　　(2)在三坐標測量機上測量。如圖8、圖9所示，對加工后的修形齒廓進行坐標測量，圖形顯示實際修形齒廓與理論修形齒廓匹配較好。對測量數據進行數據處理和圖形匹配后，經計算得齒廓誤差為17.6μm，符合精度要求。

　　圖8 實測修形齒形與理想修形齒形對比

　　圖9 齒形對比放大部分

　　實驗證明本論文提出的數字化齒面展成方法及其相應算法應用于數字化漸開線修形齒輪的加工是正確的和可行的。

　　5 結論

　　齒輪特別是高速重載齒輪，其輪齒修形技術應用相當廣泛。本文根據數字化共扼曲面原理，通過主動控制插齒刀和工件間的成形切削運動關系，來實現任意齒廓的修形。采用標準插齒刀在數控插齒機上就可以加工出修形齒輪，與傳統加工修形齒輪時首先對齒輪刀具進行修形相比，大大縮短了修形齒輪的設計周期。由于CNC系統控制運動的柔性，數控插齒修形可適用于各種形狀和參數的齒廓修形，從而為修形齒輪的設計、制造及推廣提供了新的技術手段。數控插齒修形是一項新技術，它將齒輪設計與齒輪制造集成一體，為齒輪產品進人計算機集成化制造創造了條件。