1 用ANSYS分析軟件求解Hertz問題

    假設兩個球體1和2接觸，它們的半徑分別為：R1=10mm,R2=15mm;彈性模量E1=220GPa,E2=69Gpa;泊松比為V1=0.27,V2=0.3;球1頂部施加集中載荷Q=8000N。

    根據軸對稱關系，按照軸對稱平面接觸模型進行計算，見圖1。

    對接觸體進行四邊形有限元劃分，在接觸區域附近其節點編號如圖2所示。

應當注意，在劃分單元之前，一定要預先估算加載后接觸區域的大小，否則可能使劃分的單元大于接觸區域尺寸，從而不能精確計算出（甚至無法計算出）接觸區的尺寸。一般情況下，單元尺寸盡可能小，應使其為接觸橢圓半徑的1/3左右。當然也不能無限制地細化單元，以免導致計算機的計算時間增加。適宜的單元大小劃分過程要經過反復調試。

    有限元接觸應力求解結果見圖3。ANSYS求解結果和Hertz理論解的比較列于表1中。在提取節點載荷時，如果節點載荷Fy>0,則該點處于接觸狀態（在模型最上端施加了負y向的力），否則處于非接觸狀態。最大法向應力則應該是所有接觸點應力的最大值。接觸區域的半徑應為最遠的那個接觸點的x坐標值與該點x方向位移值之和的絕對值，即R=|X+Ux|.

    結果比較在表1中列出。其中aA,σA是接觸半徑和最大接觸應力的ANSYS解，ah和σh是其Hertz理論解。

    比較的結論是，兩者求解的結果非常接近，接觸尺寸誤差僅為1.52%，而最大應力誤差也僅為3.09%。因此可以說，用ANSYS軟件求解接觸問題有足夠的精度，是可靠的。

   2 Hertz 點接觸理論的適用范圍以球和球窩接觸為例，分別用Hertz理論和ANSYS求解。

如圖4所示，鋼球直徑Dw=2mm,球窩的曲率半經為r（給定一系列數據），小球頂點施加集中載荷Q=20N；兩接觸體物理參數為E=207GPa。同上面的例子一樣，建模、劃分網格、設置參數和接觸對。ANSYS解和Hertz理論解的接觸半徑與最大應力結果比較見表2。由于材料是軸承鋼，故在本例中Hertz點接觸理論公式可用

    從表2可以看出，當f≥0.54時，Hertz理論解和ANSYS解基本一致，接觸尺寸誤差和最大應力誤差分別為2.40%與4.63%；當f<0.54時，誤差會越來越大；當f=0.52時，兩者的誤差分別為4.99%與8.41%。此時Hertz理論的結果已不十分可靠了，而球軸承的情況正好與此相似。當f更小時，Hertz理論已基本失效。