牛頓一拉森方法

ANSYS程序的方程求解器計(jì)算一系列的聯(lián)立線性方程來預(yù)測工程系統(tǒng)的響應(yīng)。然而，非線性結(jié)構(gòu)的行為不能直接用這樣一系列的線性方程表示。需要一系列的帶校正的線性近似來求解非線性問題。

逐步遞增載荷和平衡迭代

一種近似的非線性救求解是將載荷分成一系列的載荷增量。可以在幾個(gè)載荷步內(nèi)或者在一個(gè)載步的幾個(gè)子步內(nèi)施加載荷增量。在每一個(gè)增量的求解完成后，繼續(xù)進(jìn)行下一個(gè)載荷增量之前程序調(diào)整剛度矩陣以反映結(jié)構(gòu)剛度的非線性變化。遺憾的是，純粹的增量近似不可避免地隨著每一個(gè)載荷增量積累誤差，導(dǎo)種結(jié)果最終 失去平衡，如圖1所示所示。

                           （a） 純粹增量式解             （b）全牛頓－拉普森迭代求解

                                     圖1    純粹增量近似與牛頓－拉普森近似的關(guān)系

ANSYS程序通過使用牛頓－拉普森平衡迭代克服了這種困難，它迫使在每一個(gè)載荷增量的末端解達(dá)到平衡收斂（在某個(gè)容限范圍內(nèi)）。圖1（b）描述了在單自由度非線性分析中牛頓－拉普森平衡迭代的使用。在每次求解前，NR方法估算出殘差矢量，這個(gè)矢量是回復(fù)力（對應(yīng)于單元應(yīng)力的載荷）和所加載荷的差值。程序然后使用非平衡載荷進(jìn)行線性求解，且核查收斂性。如果不滿足收斂準(zhǔn)則，重新估算非平衡載荷，修改剛度矩陣，獲得新解。持續(xù)這種迭代過程直到問題收斂。

ANSYS程序提供了一系列命令來增強(qiáng)問題的收斂性，如自適應(yīng)下降，線性搜索，自動(dòng)載荷步，及二分等，可被激活來加強(qiáng)問題的收斂性，如果不能得到收斂，那么程序或者繼續(xù)計(jì)算下一個(gè)載荷前或者終止（依據(jù)你的指示）。

對某些物理意義上不穩(wěn)定系統(tǒng)的非線性靜態(tài)分析，如果你僅僅使用NR方法，正切剛度矩陣可能變?yōu)榻抵榷剃嚕瑢?dǎo)致嚴(yán)重的收斂問題。這樣的情況包括獨(dú)立實(shí)體從固定表面分離的靜態(tài)接觸分析，結(jié)構(gòu)或者完全崩潰或 者“突然變成”另一個(gè)穩(wěn)定形狀的非線性彎曲問題。對這樣的情況，你可以激活另外一種迭代方法，弧長方法，來幫助穩(wěn)定求解。弧長方法導(dǎo)致NR平衡迭代沿一段弧收斂，從而即使當(dāng)正切剛度矩陣的傾斜為零或負(fù)值時(shí)，也往往阻止發(fā)散。這種迭代方法以圖形表示在圖2中。